Лабораторная работа № 32

ИЗУЧЕНИЕ ЗАВИСИМОСТИ СОПРОТИВЛЕНИЯ МЕТАЛЛОВ
ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ

Цель работы - определение температурного коэффициента сопротивления меди.

Приборы и принадлежности: исследуемый медный проводник, измерительный мост или омметр, термометр.

Элементарная теория проводимости металлов

Величина электрического сопротивления R конкретного металлического проводника зависит как от геометрической формы (т.е. размеров), так и от физических свойств материалов. Для однородного изотропного проводника правильной геометрической формы длиной l и площадью сечения S величина сопротивления R равна

 R = ,                                            (1)

где r - удельное сопротивление материала, Ом×м.

Обратная величина , т.е. , называется удельной проводимостью. Единица измерения  -  (См – сименс).

Величины  и  зависят от химических примесей, дефектов кристаллической решетки, магнитного состояния вещества, температуры, давления и других факторов.

При постоянном давлении для неферромагнитных несверхпроводящих и изотропных проводников вблизи комнатной температуры и выше (до температуры плавления) удельное сопротивление пропорционально Т. При низких температурах вблизи абсолютного нуля наблюдается нелинейная зависимость (~ Т) удельного сопротивления  (кривая 1 на рис. 1). Величина остаточного сопротивления  при Т= 0 К зависит от примесей химических элементов, дефектов кристаллической решетки. У абсолютно чистого проводника с идеальной кристаллической решеткой при Т = 0 К удельное сопротивление r равно нулю (кривая 2 на рис. 1).

Рис. 1

Далее рассматриваем неферромагнитные и изотропные металлические проводники.

Температурную зависимость удельного сопротивления ρ изотропных проводников объясняет квантовая теория металлов. Электроны проводимости (валентные)  движутся беспорядочно и в отсутствии внешнего электрического поля они находятся в поле кристаллической решетки в равновесном состоянии. Как в классической,  так в квантовой теории электрическое сопротивление объясняется взаимодействием электронов - проводимости с дефектами (примеси, искажение решетки, вакансии  и т. д.) кристаллической решетки, т.е. рассеянием электронов на дефектах. В отсутствие внешнего электрического поля (Е=0) из-за беспорядочного движения, электроны испытывают столкновение (рассеяние) с колеблющимися в узлах  решетки,  ионами, примесями и другими. В результате чего изменяются  их направление и величина скорости движения. Поэтому, в среднем число электронов, движущихся в одном направлении равно числу электронов, движущихся в противоположном направлении.  Соответственно, отсутствует преимущественное направление движения электронов, скорость упорядоченного движения равна нулю, ток – отсутствует. В грубом приближение,  траекторию движения электронов проводимости при Е=0, можно представить в следующем виде:

Рис. 2

где <υ> - средняя скорость теплового движения электрона.

Это мгновенная фотография беспорядочного движения электрона. Стрелками обозначены положения вектора скорости теплового движения. Под действием внешнего электрического поля  электроны-проводимости будут совершать упорядоченное движение (см. рис. 3), т.к. на них будет действовать  электрическая сила F_е = еЕ. Электроны будут приобретать дополнительную кинетическую энергию, которую отдают дефектам. Сразу после столкновения приобретенная электроном  кинетическая энергия равна нулю, соответственно начальная скорость упорядоченного движения, также равна нулю. Затем, под действием поля  , электроны опять будут приобретать дополнительную кинетическую энергию, которую также отдает дефектам и т. д.. Следовательно, при взаимодействии электронов с дефектами  происходит передача энергии и импульса.  

Рис. 3

Рассмотрим классическую теорию.

Под действием внешнего электрического поля  электроны  будут совершать упорядоченное движение (см. рис. 3), т.к. на них  действует  электрическая сила F_е = еЕ , кроме того, на электрон со стороны поля кристаллической решетки  действует сила сопротивления F_с = -. Поэтому общая сила, действующая на электрон, равна

F = еЕ –.                                       (2)

По второму закону Ньютона

mа = еЕ –.                                    (3)

Дрейфовая скорость  будет увеличиваться до тех пор, пока F_е = F_с, а = 0, т.е. еЕ = , отсюда

u =.                                            (4).

Величина, равная b = , называется подвижностью электрона.

Смысл коэффициента следующий. Пусть Е = 0, тогда (3) запишется в

виде mа = –.Так как ускорение электрона определяется по формуле: 

, то

  ,      или      .             (5)

Из (5) следует, что u=. Если , то t = τ и  это время, за ко-

торое электрон  уменьшает дрейфовую скорость в  раз. За это время он пробегает расстояние, которое называется транспортным:

L = ,                                           (6)

где γ – число столкновений (рассеяния) электронов с дефектами; – средняя длина свободного пробега электрона между двумя последовательными столкновениями. За  время τ электрон испытывает γ число столкновений с дефектами кристаллической решетки и пробегает транспортное расстояние L.

С другой стороны, транспортное расстояние равно L=, так как электрон движется со средней скоростью.

С  учетом (6) получим

 или .                          (7)

Подставляя (7) в (4), найдем

u = .                                       (8)

Плотность тока равна

j = nеu,                                                          (9)

где n – концентрация электронов.

Подставляя (8) в (9), получим

j =.                                    (10)

Закон Ома в дифференциальной форме

j =.                                                (11)

Тогда с учетом (10) и (11) имеем

 и .                    (12)

Полученная, с точки зрения квантовой теории, формула удельного сопротивления  ρ имеет такой же вид, что и формулы (12). Но вместо  m, , , рассмотренные в классической теории, в квантовой теории вводятся: эффективная масса , фермиевская скорость   и длина свободного пробега . Учитывая эти изменения, формула (12) приобретет следующий вид (13):

.                                     (13)

Квантово-механические расчеты показывают, что при низких температурах число столкновений , а . Тогда удельное сопротивление ρ пропорционально и сопротивление металлов обусловлено рассеянием электронов проводимости на дефектах и ионах кристаллической решетки.

При высоких температурах сопротивление в основном обусловлено рассеянием электронов на тепловых ионах кристаллической решетки (фононах), а сопротивление, обусловленное рассеянием электронов на дефектах, пренебрежимо мало. Поэтому при высоких температурах  не зависит от Т, а . Тогда .

Расчет показывает, что при высоких температурах удельное сопротивление зависит от температуры:

 ,                                              (14)

где α – температурный коэффициент сопротивления;  – удельное сопротивление при температуре 0 °С; t – температура по шкале Цельсия.

Температурный коэффициент α равен относительному изменению удельного сопротивления при изменении температуры проводника на 1 градус:

, .

Для металлических изотропных проводников коэффициент  почти не зависит от температуры и примерно равен . Так как сопротивление металлических проводников зависит от  [см. формулу (1)], т.е. R~, то с учетом (14) сопротивление можно представить в виде

R = R₀(1+).                                     (15)

Откуда можно найти :

  ,                                      (16)

где R­₀ – сопротивление проводника при t = 0°С.

Для металлических проводников , т.е. с увеличением температуры сопротивление увеличивается. Поэтому эти проводники называются проводниками I рода. Для электролитов, графита и других , т.е. с увеличением температуры сопротивление проводника уменьшается. Они называются проводниками II рода.

Ход работы

Схема установки приведена на рис. 4. Исследуемый проводник помещается в колбу, заполненную непроводящей жидкостью (масло, глицерин, дистиллированная вода). Температура измеряется термометром.

Для равномерного нагревания жидкость перемешивается мешалкой. Исследуемый проводник R подключается в качестве неизвестного сопротивления к клеммам измерительного моста. Измеряют сопротивление исследуемого проводника при комнатной температуре.

Включают нагреватель и непрерывно перемешивают жидкость мешалкой.

Рис. 4

При нагревании через каждые 5-10 °С измеряют сопротивление проводника. Измерения проводят до температуры 80-90 °С. Полученные результаты заносят в таблицу.

Таблица

Строят зависимость R= ƒ(t), откладывая по оси абсцисс значения температуры, а по оси ординат значения R. Значения R₀ и  определяют следующим образом: продолжают полученную прямую до пересечения с осью R (рис. 5). Точка пересечения дает значение R₀. Значение  вычисляют по формуле

.

Точка а – точка, выбранная вами на полученной прямой между двумя последними экспериментальными точками.

Рис. 5

Вопросы для допуска к работе

1. Какова цель работы?

2. Почему сопротивление металлов увеличивается с возрастанием температуры?

3. Что называется температурным коэффициентом сопротивления? Выведите размерность температурного коэффициента сопротивления.

Вопросы для защиты работы

1. Объясните механизм проводимости в металлах.

2. В чем существенные отличия объяснения электрического сопротивления в классической теории металлов от квантовой?

3. Вывести формулу температурной зависимости удельного сопротивления.

4. Какие проводники называются проводниками I и II рода?