Лабораторная работа № 112

Физический маятник

Цель работы: Экспериментальное определение ускорения свободного падения методом колебания физического маятника. Определение момента инерции физического маятника.

Приборы и принадлежности: универсальный маятник ФП-1, секундомер, линейка.

Теоретическое введение

 В теории колебаний физическим маятником называется твердое тело, укрепленное на неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс и способное совершать колебания относительно этой оси (рис.1).

Можно показать, что маятник, отклоненный на малый угол a от положения равновесия, будет совершать гармонические колебания.

 Обозначим через J момент инерции маятника относительно оси О. Пусть точка С является центром масс. Силу тяжести  можно разложить на две составляющие, одна из которых  уравновешивается реакцией оси. Маятник приходит в движение под действием другой составляющей , величина, которой:

Для малых углов sina » a и выражение (1) запишем:

Знак минус означает, что сила  направлена в сторону, противоположную отклонению маятника от положения равновесия.

 Основное уравнение динамики вращательного движения для физического маятника запишется:

Момент силы относительно оси О с учетом (2):

где l – расстояние от центра масс С до оси О.

Угловое ускорение маятника:

Поставив (4) и (5) в уравнение (3), получим:

откуда

Обозначив

получим:

По структуре уравнение (6) является дифференциальным уравнением гармонических колебаний с циклической частотой w. Период колебаний физического маятника равен:

Отсюда момент инерции физического маятника:

Величина

называется приведенной длиной физического маятника, равной длине математического маятника, имеющего тот же период колебаний, что и физический, т.е.

Точка О₁, лежащая на прямой, проведенной через точку подвеса О и центр масс С, на расстоянии приведенной длины l₀ от оси вращения, называется центром качания маятника (рис.1). Центр качания лежит всегда ниже центра масс. Точка подвеса О и центр качания О₁ сопряжены друг с другом, т.е. перенос точки подвеса в центр качания не меняет периода колебания маятника. Точка подвеса и центр качания обратимы, а расстояние между этими точками представляет собой приведенную длину l₀ одного из типов физического маятника, так называемого оборотного маятника.

 Обозначим через J₀ момент инерции маятника относительно оси, проходящей через его центр масс. На основании теоремы Штейнера момент инерции J относительно любой оси, параллельной первой:

где m – масса маятника, l – расстояние между осями.

 Тогда при подвешивании маятника за точку подвеса О период колебаний:

а при подвешивании за центр качания О₁ , когда маятник находится в перевернутом положении, период:

где l₂ и l₁ – расстояние между центром масс и соответствующими осями колебаний.

Из уравнений (9) и (10):

откуда:

Формула (11) остается справедливой при колебаниях маятника относительно двух произвольных осей О и О^/, не обязательно сопряженных, но расположенных по разные стороны от центра масс маятника.

Описание рабочей установки и метода измерений.

 Для определения ускорения свободного падения применяется прибор ФП-1 (рис.2),

состоящий из настенного кронштейна 1, на котором смонтированы подушки 2 опорных призм и физического маятника представляющего собой однородный металлический стержень 11, на котором крепятся чечевицы 5 и 9. Чечевица 9 закреплена жестко и является неподвижной. Чечевица 5, находящаяся на конце стержня, может перемещаться по шкале 3 с нониусом 4 и фиксируется в нужном положении винтом 6. Маятник можно подвешивать на опорные призмы 7 и 10. В комплект прибора входит специальная подставка для определения положения центра масс маятника. Перемещением чечевицы 5 можно добиться равенства периодов колебаний маятника при подвесе его на опорные призмы 7 и 10, и тогда оси колебаний становятся сопряженными, расстояние между опорными призмами становится равным приведенной длине физического маятника.

 Величина ускорения свободного падения определяется на основе формулы (11). Эксперимент сводится к измерению величин Т₁, Т₂, l₁, l₂. Формула (8) является исходной для определения момента инерции физического маятника.

Ход работы

1)      Определение ускорения свободного падения.

1.      Подвесить маятник на опорную призму 7, отклоняют на небольшой угол и измеряют секундомером время t₁ 30-50 полных колебаний. Опыт повторяют не менее 5 раз и находят среднее значение времени <t₁> выбранного числа колебаний.

2.      Определяют период колебания:

где n – число колебаний.

3.      Для нахождения положения центра масс маятника снять его с подушек опорных призм и балансировать на горизонтальном ребре призмы, укрепленном на столе до тех пор, пока моменты сил тяжести, действующие на правую и левую часть маятника окажутся равными. В случае равновесия центр масс маятника будет расположен в стержне против точки опоры. Не снимая маятник с ребра призмы, линейкой измеряют расстояние l₁ между опорой 7 и центром масс.

4.      Перевернув маятник, подвешивают его на опорную призму 10. Выбрать то же число колебаний n и, повторить опыт не менее 5 раз, находят период колебания:

При этом измеренные значения периодов Т₁ и Т₂ должны отличаться не более чем на 5%

5.      Найти  расстояние l₂ между ребром опорной призмы 10 и центром масс: l₂ = l₀ – l₁, где l₀ – расстояние между ребрами опорных призм 7 и 10 (для данного маятника l₀=0,730м).

6.      Вычисляют среднее значение <g> по формуле (11)

7.      Оценивают абсолютную погрешность результата, исходя из табличного значения искомой величины g_табл для широты г. Братска. Найти относительную погрешность.

8.      Результаты измерений и вычислений заносят в таблицу 1.

Таблица 1

2) Определение момента инерции физического маятника.

1.      Найти среднее значение момента инерции физического маятника J относительно оси колебаний по формуле (8). Для колебаний маятника, подвешенного на опору 10, Т =Т₂ и l = l₂. Масса маятника    m = 10,65кг.

2.      Методом расчета погрешностей косвенных измерений найти абсолютную погрешность результата DJ.

3.      Данные результатов измерений и вычислений заносят в таблицу 2.

Таблица 2

Вопросы для допуска к работе

1.      Какова цель работы?

2.      Что называется физическим маятником? Какой маятник называется оборотным?

3.      Запишите формулу периода колебаний физического маятника и поясните физический смысл величин, входящих в нее. При каких условиях справедлива эта формула?

4.      Опишите рабочую установку и ход эксперимента.

5.      Оцените погрешность метода измерения момента инерции физического маятника.

Вопросы для защиты работы

1.      Выведите формулу для периода колебаний физического маятника.

2.      Получите дифференциальное уравнение гармонических колебаний физического маятника, приведите его решение.

3.      Что называется приведенной длиной физического маятника?

4.      Сформулируйте теорему Штейнера.

5.      Выведите рабочую формулу:

для определения ускорения свободного падения;

для определения момента инерции физического маятника.

6.      Получите дифференциальным методом формулу для расчета относительной погрешности DJ/J и укажите пути повышения точности результата эксперимента.