Лабораторная работа № 401

Лабораторная работа № 401

ИЗУЧЕНИЕ ЗАВИСИМОСТИ СОПРОТИВЛЕНИЯ
ПОЛУПРОВОДНИКА ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ И
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ АКТИВАЦИИ
ПОЛУПРОВОДНИКА

Цель работы: снять зависимость сопротивления от температуры и определить энергию активации полупроводника.

Приборы и принадлежности: термостат (колба с водой), полупроводниковое сопротивление, цифровой вольтметр, электрическая плитка.

1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

1.1. Образование энергетических зон в твердом теле

В изолированном атоме электроны могут находиться только в определенных квантовых состояниях. Каждое состояние, в котором в соответствии с принципом Паули может находиться только один электрон, определяется набором четырех квантовых чисел (главного n, орбитального l, магнитного m_l и магнитного спинового m_s) и имеет соответствующий энергетический уровень. Так как квантовые числа принимают только дискретные (определенные) значения (n = 1,2,3,…; l = 0,1,2,…, n-1; m_l = 0, ±1, ±2, …±l; m_s = ±1/2), то и энергетический спектр электронов в атоме является дискретным и состоит из ряда разрешенных энергетических уровней. Разрешенные уровни энергии отделяются друг от друга областями запрещенных энергий. В соответствии с принципом минимума энергии электроны в атоме занимают нижние энергетические уровни, верхние – остаются свободными.

В отсутствии внешних полей (электрического или магнитного) значение энергии квантового состояния изолированного атома определяется квантовыми числами n и l. Квантовые состояния электрона, соответствующие числам m_l и m_s имеют одинаковую энергию. Такие состояния и соответствующие им уровни энергии называются вырожденными. В изолированном атоме в вырожденных состояниях с орбитальным числом l может находиться 2(2l+1) электронов. Это число называется кратностью вырождения состояния (уровня).

При сближении атомов до расстояний, на которых они находятся в твердом теле, взаимодействие между атомами достигнет значительной величины, и электроны каждого атома окажутся в электрическом поле не только своего ядра, но и во внешнем поле соседних ядер. Известно, что электрическое поле снимает вырождение состояний электронов. В кристалле взаимодействие между атомами приводит к снятию вырождения, связанного с квантовыми числами n, l и m_l. Квантовые состояния, связанные с ориентацией спина, от электрического поля практически не зависят. Поэтому каждый уровень энергии в твердом теле двукратно вырожден и содержит (или может содержать) два электрона с разной ориентацией спина. Снятие вырождения с энергетических состояний приводит к расщеплению уровней энергии электронов и образованию энергетической зоны, состоящей из дискретных подуровней, на каждом из которых может находиться по два электрона. Зоны разрешенных энергий отделяются друг от друга зонами запрещенных энергий (запрещенными зонами).

Из рис.1, на котором показано расщепление уровней как функции расстояния r между атомами, видно, что заметно расщепляются и расширяются лишь уровни внешних валентных электронов, наиболее слабо связанных с ядром и имеющих наибольшую энергию, а также более высокие уровни, которые в основном состоянии атома вообще электронами не заняты. Уровни же внутренних электронов либо совсем не расщепляются, либо расщепляются слабо. Таким образом, в твердых телах внутренние электроны ведут себя так же, как в изолированных атомах, валентные же электроны «коллективизированы» - принадлежат всему твердому телу.

Заполнение энергетических зон электронами различно. Зоны, образованные из энергетических уровней внутренних электронов атомов, заполнены полностью. На физические свойства твердых тел эти зоны не оказывают заметного влияния. На схемах энергетических зон (энергетических диаграммах) они обычно не изображаются. Энергетическая зона, образованная из энергетических уровней внешних валентных электронов атомов, находящихся в основном состоянии, называется валентной зоной. Выше валентной зоны в энергетическом спектре электронов располагаются зоны, образованные из пустых энергетических уровней атомов (зоны проводимости). Так как электрические свойства твердых тел зависят от заполнения валентной зоны и переходов электронов между валентной зоной и первой пустой, то именно они изображаются на энергетических диаграммах при обсуждении физических свойств твердого тела.

1.2. Деление твердых тел
на диэлектрики, проводники и полупроводники

Рассмотренная выше простейшая зонная теория позволяет легко объяснить многообразие электрических свойств твердых тел. Без привлечения этой теории невозможно объяснить изменения удельного сопротивления r от значения 10^-⁸ Ом×м у хороших проводников до 10¹⁷ Ом×м у лучших диэлектриков. Действительно, если ограничиться лишь различием атомов, составляющих твердое тело, и различием в их взаимном расположении (различием в кристаллической структуре твердого тела), то изменение r на 25 порядков не объяснить. Ведь атомы «устроены» примерно одинаково – положительное ядро и несколько валентных электронов; различных типов кристаллических структур тоже не так уж много – около двухсот. И только зонная теория верно объясняет различия в электрических свойствах диэлектриков, проводников и полупроводников.

Согласно этой теории диэлектрики – это такие вещества, у которых при Т = 0 К: а) валентная зона полностью заполнена; б) энергетическая щель между валентной зоной и лежащей над ней пустой зоной проводимости велика - DW = 3¸10 эВ (1 эВ = 1,6×10^-¹⁹Дж), см. рис.2. Действительно, вещества с подобной зонной структурой должны быть хорошими диэлектриками. В этих веществах проводимость по незаполненной зоне отсутствует: в этой зоне практически нет электронов – носителей тока. Не может осуществляться и проводимость в валентной зоне, хотя она, и заполнена электронами. Ведь если электрон начинает двигаться под действием электрического поля, т.е. начинает переносить ток, то должна измениться его полная энергия вследствие появления у электрона кинетической энергии.

Изменение полной энергии электрона на зонной диаграмме выглядит как переход электрона на более высокий энергетический уровень. Но все уровни в валентной зоне уже заняты, и такой переход привел бы к нарушению принципа Паули (на каком-то уровне оказалось бы не 2, а 3 электрона). Поэтому мы должны прийти к выводу, что электроны валентной (полностью заполненной) зоны не могут быть переносчиками тока.

А могут ли электроны из валентной зоны перейти в зону проводимости? Тогда из-за наличия в этой зоне массы свободных энергетических уровней, попавшие сюда электроны, могут легко менять свою энергию, т.е. станут переносчиками тока. Да, этот механизм электропроводности в диэлектриках был бы возможен, если бы ширина запрещенной зоны DW не была бы велика. Вероятность «заброса» электрона из валентной зоны в зону проводимости пропорциональна больцмановскому фактору , где Т – температура диэлектрика, k – постоянная Больцмана. При обычных условиях (Т=300К) тепловая энергия kT ~ 0,02 эВ<<DW и вероятность перехода электрона в зону проводимости очень мала. То есть мы приходим к выводу, что и проводимость за счет межзонных переходов отсутствует (или пренебрежимо мала). Именно этим объясняется то, что у диэлектриков удельное сопротивление очень велико:

Итак, диэлектрики – это вещества, у которых отсутствует как внутризонная проводимость, так и проводимость за счет межзонных переходов.

Рассмотрим теперь зонную структуру хороших проводников (металлов). Отличительной чертой зонной структуры металлов является наличие полупустой или не полностью заполненной зоны. Эта зона в металлах называется зоной проводимости. Ею в металлах может быть валентная зона, как, например, у щелочных металлов. У этой группы металлов на валентных уровнях атомов находится не два, а один валентный электрон. И когда эти уровни расщепляются в зону, она оказывается полупустой (см. рис.3 а). У щелочных металлов можно не рассматривать расположенные ниже заполненные зоны, т.к. электрические свойства металлов определяются только зоной проводимости, электроны которой могут переносить электрический ток.

По иному формируется зона проводимости у щелочноземельных металлов (II группа таблицы Менделеева). У атомов этих металлов все электронные оболочки, в том числе и внешняя, укомплектованы полностью. Поэтому на первый взгляд эти металлы не должны проводить ток или, по крайней мере, должны проводить его плохо. Однако опыт показывает, что эти металлы являются хорошими проводниками. Это происходит потому, что при сближении атомов этих металлов пустые уровни, расположенные выше валентных, расщепляются так сильно, что образующаяся широкая пустая зона перекрывается с валентной зоной, образуя гибридную зону, заполненную лишь частично (см рис.3 б). Эта зона и является зоной проводимости металлов II группы таблицы Менделеева. Остальные металлы имеют зонные структуры, подобные изображенным на рис.3 а и б. У металлов удельное сопротивление может принимать следующие значения:

Итак, проводники – это вещества, в зонной структуре которых имеется не полностью заполненная зона – зона проводимости (валентная или гибридная).

Зонная структура полупроводников очень похожа на зонную структуру диэлектриков. Но ширина запрещенной зоны полупроводников намного меньше ширины запрещенной зоны у диэлектриков и составляет всего DW ~ 0,01÷3эВ. Поэтому вероятность перехода электронов из валентной зоны в зону проводимости намного порядков выше, чем у диэлектриков. Но при 0 К полупроводники ведут себя как хорошие диэлектрики: несмотря на узкую запрещенную зону, электроны не могут ее одолеть, т.к. тепловая энергия kT близка к 0 (см. рис.4а). При повышении температуры все большее число электронов забрасывается в зону проводимости, и полупроводник становится способным проводить электрический ток. Кроме того, остающиеся в валентной зоне нарушенные из-за ухода электронов валентные связи (так называемые «дырки») ведут себя в электрическом поле как своеобразные заряды, и они тоже способны переносить ток (см. рис. 4b). При обычных температурах удельное сопротивление полупроводников лежит в пределах:

Итак, полупроводники – это вещества с узкой запрещенной зоной, которую при тепловом возбуждении преодолевает большое число электронов, обеспечивающих появление электронной проводимости в свободной зоне (зоне проводимости) и дырочной – в валентной зоне.

1.3. Собственная проводимость полупроводников

Изучая электропроводность полупроводников, мы в качестве примера возьмем кремний (Si) или германий (Ge), но излагаемая теория применима к любому полупроводнику.

Проводимость химически чистых полупроводников называется собственной, а сами полупроводники собственными полупроводниками. Примерами таких полупроводников являются не только Si и Ge, но и селен (Se), мышьяк (As), теллур (Те), углерод в форме алмаза, многие химические соединения: PbS, InSb, GaAs, CdS и другие.

При 0 К (см. рис.4а) в зоне проводимости электроны отсутствуют, полупроводник ведет себя как диэлектрик. С ростом температуры повышается вероятность того, что электрон приобретет энергию, достаточную для преодоления запрещенной зоны DW_g и перехода в зону проводимости. На рис.4b представлена зонная диаграмма собственного полупроводника при Т > 0, где · - электроны в валентной зоне, ● - электроны в зоне проводимости, O - дырки, DW_g – ширина запрещенной зоны.

Кремний и германий, являясь элементами IV группы таблицы Менделеева, образуют решетку типа алмаза, в которой каждый атом связан ковалентными (парно-электронными) связями с четырьмя равноотстоящими от него соседними атомами. Условно такое взаимное расположение атомов можно представить в виде плоской структуры, изображенной на рис.5.

При достаточно высокой температуре тепловое движение может разорвать отдельные пары, освободив один электрон. Покинутое электроном место перестает быть электрически нейтральным, а в его окрестности возникает избыточный положительный заряд +е, т.е. образуется дырка. На это место может перескочить электрон одной из соседних пар. В результате дырка начинает также странствовать по кристаллу, как и освободившийся электрон. При встрече свободного электрона с дыркой они рекомбинируют (соединяются).

Таким образом, проводимость полупроводников активационная: за счет термической активации растет число носителей тока – в зоне проводимости – электронов, в валентной зоне – дырок.

Перейдем к математическому выражению описанных выше процессов. При Т = const в кристалле полупроводника устанавливается термодинамическое равновесие между числом переходов электронов в зону проводимости N и числом обратных переходов из зоны проводимости в валентную зону N¯ (рекомбинация электрона с дыркой):

N = N¯ (1)

Число забросов электронов N пропорционально вероятности того, что электрон имеет энергию DW_g или выше:

(2)

где а – коэффициент пропорциональности, зависящий от того, как много электронов находится у потолка валентной зоны и у дна зоны проводимости.

Число рекомбинаций пропорционально как концентрации n электронов в зоне проводимости, так и концентрации р дырок в валентной зоне:

(3)

где g - коэффициент пропорциональности. Используя формулы (1) – (3), получаем с учетом того, что n = p, в собственном полупроводнике:

(4)

где n_o = a/g - концентрация носителей тока, которая существовала бы в полупроводнике при Т ® ¥.

Мы получили важный вывод: концентрация носителей тока в собственном полупроводнике возрастает с ростом температуры очень быстро (по экспоненциальному закону). Из курса «Электричество» известно, что проводимость где q_o – заряд носителей тока, n – их концентрация, m - подвижность носителей тока. Подвижность m показывает, насколько изменяется дрейфовая скорость носителей тока при изменении напряженности электрического поля на единицу (m = Dυ_др/DE).

Используя эту формулу для полупроводника, можно записать

где и - подвижности электронов и дырок, соответственно. Подставляя в полученное выражение концентрацию электронов (4), окончательно получаем:

(5)

гдепроводимость, которой обладал бы полупроводник при очень высоких температурах (при Т® ¥). Эта величина слабо зависит от температуры, поэтому в (5) температурная зависимость σ определяется только экспоненциальным членом.

Зависимость (5) удобно представить в виде зависимости логарифма проводимости от обратной температуры :

(6)

Эта зависимость имеет вид прямой линии с углом наклона α, причем видно, что

(см. рис.6).

Последнее выражение подсказывает удобный способ измерения ширины запрещенной зоны DW_g в полупроводниках: определив в эксперименте зависимость σ от температуры, строят зависимость (6) и по tgα определяют DW_g.

1.4. Примесная проводимость полупроводников

Электропроводность полупроводников весьма чувствительна даже к ничтожным количествам примесей, содержащихся в них. Так, введение в кремний всего лишь 0,001 % бора (В) увеличивает его приводимость при комнатной температуре примерно в 1000 раз. Проводимость полупроводников, обусловленная примесями, называется примесной проводимостью, а сами полупроводники – примесными полупроводниками.

Рассмотрим проводимость, возникающую при введении в германий (Ge – элемент IV группы таблицы Менделеева) элементов V группы, например, мышьяка (As). На установление валентных связей с четырьмя ближайшими соседями As тратит четыре валентных электрона. Пятый электрон оказывается очень слабо связанным со своим атомом, т.к. в среде с диэлектрической проницаемостью ε электростатические силы уменьшаются в ε раз, а энергия взаимодействия зарядов – в ε² раз. Например, для Ge ε=16, энергия связи уменьшается в 256 раз, становясь равной 0,015 эВ. При такой маленькой энергии связи пятый электрон легко отрывается от атома, становясь свободным, и диффундирует по кристаллу (см. рис.7а). При включении электрического поля эти электроны начинают переносить ток, обеспечивая примесную проводимость.

На языке зонной теории этот процесс описывается так. Электронам мышьяка, не участвующим в образовании валентных связей, соответствуют энергетические уровни DW_d, расположенные в запрещенной зоне вблизи дна зоны проводимости (на 0,015эВ ниже дна зоны проводимости, см. рис.7б).

Эти уровни называются донорными уровнями D. При нагревании полупроводника в зону проводимости в основном переходят электроны с донорных уровней, обеспечивая электронную проводимость полупроводника, т.к. энергия активации DW_d этих примесей очень мала (0,015 эВ).

Собственная электронно-дырочная проводимость выражена слабо, т.к. для ее возбуждения требуется намного больше энергии (DW_g ~ 0,4 эВ). Поэтому имеющиеся в полупроводнике дырки также являются носителями тока, но это не основные носители тока, концентрация их очень мала по сравнению с концентрацией электронов. Проводимость в таких полупроводниках электронная (ее часто называют донорной проводимостью, а примеси – донорами, примесные полупроводники такого типа – донорными полупроводниками). Следует запомнить, что ионизованные атомы примеси, имеющие положительный заряд, в проводимости не участвуют, т.к. ионы примесей жестко закреплены в узлах кристаллической решетки.

Математическое выражение для примесной проводимости можно получить по той же схеме рассуждений, которую мы использовали при выводе собственной проводимости полупроводников, только нужно в рассуждениях заменить ширину запрещенной зоны на энергию активации DW_d. В результате мы получим выражение:

(7)

Теперь рассмотрим примесную проводимость, возникающую при введении в решетку германия атомов III группы таблицы Менделеева, например индия (In). Для образования связей с четырьмя ближайшими соседями у атома In не хватает одного электрона (см. рис.8а). Его можно заимствовать у ближайшего атома Ge. Для этого требуется очень маленькая энергия, порядка 0,015 эВ. Разорванная связь (дырка) диффундирует по кристаллу как свободный положительный заряд. При наложении электрического поля эти дырки обеспечивают электропроводность, называемую дырочной, или акцепторной. Электроны, имеющиеся в полупроводнике за счет возбуждения собственной проводимости, являются не основными носителями, т.к. концентрация их намного меньше, чем концентрация дырок.

Зонная диаграмма полупроводников с акцепторными примесями изображена на рис.8б. Непосредственно у верхнего края валентной зоны на расстоянии DW_а ~ 0,015 эВ располагаются незаполненные энергетические уровни индия. Маленькая энергия активации DW_а приводит к тому, что уже при сравнительно низких температурах электроны из валентной зоны переходят на примесные (акцепторные) уровни. Эти электроны захватываются примесями (ионизируют их) и в дальнейшем в проводимости не участвуют. Носителями тока являются лишь дырки в валентной зоне. Электроны в зоне проводимости, возникающие за счет собственной проводимости, являются не основными носителями.

Для акцепторной (дырочной) проводимости справедлива формула (7) с заменой DW_d на DW_a:

(8)

В заключение приведем график проводимости полупроводника, в котором учитываются и примесная, и собственная проводимости (рис.9). При низких температурах в основном преобладает Примесная проводимость. Так как энергия активации мала, то и угол α_n мал: tgα_n = -DW_a/2k для акцепторной примеси или tgα_n= -DW_d/2k для донорной примеси.

При повышении температуры (1/Т уменьшается) может оказаться, что все примеси ионизируются: все доноры отдают свои электроны или все акцепторы захватят электроны из валентной зоны. В этом случае примесная проводимость перестанет изменяться, а собственная проводимость еще намного меньше примесной и заметного вклада в проводимость не вносит. При дальнейшем росте температуры (1/Т продолжает уменьшается) начинает играть роль возросшая собственная проводимость. Угол α, пропорциональный энергии DW_g (tgα = - DW_g/2k), намного больше, чем угол α_n.

Итак, проводимость в полупроводниках носит активационный характер, при котором за счет тепловых возбуждений растет число электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне (собственная проводимость). При введении донорных примесей проводимость в основном электронная. Ее называют также донорной, или n-типа. При введении в полупроводник акцепторных примесей проводимость в основном дырочная. Ее также называют акцепторной, или проводимостью р-типа. С ростом температуры проводимость растет очень быстро (по экспоненциальному закону).

2. ОПИСАНИЕ РАБОЧЕЙ УСТАНОВКИ И
МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ

Для определения энергии активации DW_n примесного полупроводника (акцепторного или донорного) зависимость (7) или (8) удобно представить в виде зависимости логарифма проводимости от обратной температуры 1/T:

где σ_о - постоянная для данного полупроводника, не зависящая от температуры. Заменив удельную проводимость σ сопротивлением R (σ ~ 1/R), получим

Измерив на опыте сопротивление R при разных температурах Т, а затем, построив график зависимости от 1/T (он имеет вид прямой линии), по угловому коэффициенту этой прямой (tgα_n= DW_n/2k) найдем энергию активации примесного полупроводника:

(9)

где k – постоянная Больцмана; Т₁, Т₂, R₁, R₂ – значения температур и сопротивлений в двух произвольных точках 1 и 2, соответственно. Точки 1 и 2 следует выбирать вблизи концов прямолинейного участка графика.

Установка для определения температурной зависимости сопротивления полупроводника (см. рис.10) состоит из цифрового вольтметра 1, полупроводникового термосопротивления 2, помещенного в термостат (колбу с водой) 3, нагреваемого электроплиткой 4. Температура в термостате измеряется термометром 5.

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

1. Опустить в воду исследуемое термосопротивление.

2. Цифровым вольтметром измерить сопротивление полупроводника при комнатной температуре после выравнивания его температуры с температурой воды.

3. Включить нагреватель термостата.

4. Произвести измерение сопротивления полупроводника при температурах от комнатной до 80°С через каждые 10°С. Данные занести в таблицу.

Таблица результатов

№

опыта

°С

Ом

Дж

эВ

5. По окончании измерений отключить нагреватель, вытащить из воды полупроводник вместе с термометром, выключить вольтметр.

6. По полученным данным построить график зависимости сопротивление полупроводника от температуры: Построить также зависимость

7. Вычислить энергию активации полупроводника по формуле (9) в джоулях и в электрон-вольтах (1 эВ = 1,6×10^-¹⁹Дж).

4. ВОПРОСЫ ДЛЯ ДОПУСКА К РАБОТЕ

1. Сформулируйте цель работы.

2. Дайте определение собственного и примесного полупроводника.

3. Объясните устройство рабочей установки и ход эксперимента.

5. ВОПРОСЫ ДЛЯ ЗАЩИТЫ РАБОТЫ

1. Объясните с точки зрения зонной теории деление веществ на диэлектрики, металлы и полупроводники.

2. Поясните механизм собственной и примесной проводимости полупроводника. Объясните рост проводимости полупроводника от температуры.

3. Дайте определение энергии активации носителей заряда в полупроводнике. Выпишите формулы, описывающие концентрацию носителей заряда в собственном и примесном полупроводниках.

4. Проведите анализ полученных результатов.

Рекомендуемая литература

1. Трофимова Т.И. Курс физики. - М.: Высш. шк, 2002. - 542 с.

2. Савельев И.В. Курс общей физики. Кн.5. Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц. - М.: АСТ, 2001. - 368 с.